NOTA: Aunque recibiré con los brazos abiertos a cualquier nuevo visitante, especialmente en lo que concierne a los proyectos de Vaho de la Bruma, nótese que este blog permanece enterrado desde Julio de 2013, tras un año de deterioro progresivo y otro de notable silencio (cf. Recapitulación). El Fénix que de estas cenizas quizá nacerá, en Scribd, si es el caso, lo hará.
Derechos: la imagen de cabecera pertenece a Platinum FMD, mientras que la del fondo es de ¿Eric Sin (Depthcore)?

jueves, 21 de abril de 2011

el universo numérico de la recta, análisis no estándar y álgebras geométricas


Espiral de Teodoro de Cirene
Contexto: los estudiantes de segundo de bachillerato, en Cataluña, tienen por costumbre elaborar un trabajo de investigación (Treball de Recerca[TR]): a grandes rasgos, y guardando las distancias (pero mucho), lo podríamos comparar con el trabajo de fin de grado.  No voy a entrar en detalles (Internet es grande), pero existen trabajos de lo más variopinto: construcción de maquetas, robots, karts,"presupuestos" (instalación optima de una casa domotica energeticamente autónoma,por ejemplo), estudios estadísticos,... unidos junto a una parte teórica. El mio, por contra, es eminentemente teórico y extenso (que no es lo habitual).  En su momento lo colgué en Facebook para compañeros y curiosos, pero me ha parecido que podría darle un poco más de difusión: en eso consiste el blog, después de todo; en dar difusión a todas las facetas de su autor. He aquí un breve comentario de mi TR, visto con perspectiva y  haciendo hincapié sobre aquello que me parece más relevante, después de un año, más o menos, de su acometida:

Epistemologicamente, hay un hecho que me choco (y me ha marcado) mucho en este trabajo y que he ido confirmando desde entonces mediante diferentes perspectivas: la muerte de la verdad absoluta (he hablado suficiente sobre ello en mi blog, así que no voy a volver sobre ello aquí). Concretemos: la cantidad de números que podemos representar de manera exacta sobre la recta es ínfima (si bien es cierto que es mayor que los números que podemos calcular: $\sqrt{2}$ no tiene valor exacto pero si representación exacta). Tampoco podemos representar de manera exacta cualquier polígono (se han de cumplir unas condiciones) ni encontrar formulas generales mediante las operaciones representables que solucionen ecuaciones de grado mayor o igual a cinco, ni solucionar los tres grandes problemas de la geometría clásica. Todo ello fundamentado por el gran genio de Galois,padre de la teoría de grupos, de vida breve pero intensa, muerto en un duelo por una mujer. Esto pone de manifiesto la importancia de las aproximaciones y, por ende, de las ciencias de la computación (sin las cuales no existiría una tecnología tan precisa como la actual, pues es la que proporciona los resultados suficientemente precisos para los cálculos que demanda la ciencia). También refleja la incapacidad de generalizar cualquier problema de manera exacta o la existencia de problemas irresolubles. Consideraciones epistemologicamente interesantes.

Otra cuestión relevante es la de los hiperreales. Primero de todo, aclarar que no tienen nada que ver con el concepto de hiperrealidad en filosofía (y que a menudo he reinterpretado en varios de mis textos). Pero antes de introducir al lector este concepto, preguntemosle: ¿que es un numero? ¿Parece una pregunta trivial, verdad? Pues no lo es (si bien suele tomarse la definición dada por Frege[1884]* que no reproduciré por poderle resultar traumatica después de la insulsa respuesta que me ha dado). Sin embargo, la axiomatización de los naturales de Peano presupone su conocimiento (ademas del concepto de cero y de sucesor...¡antes de definir los naturales! Pura performación...). Para dejar patente la complejidad de este concepto, hagamos un breve repaso por los diferentes tipos de números usualmente conocidos:

-naturales: para contar; pero no cuentos, sino cuentas
-enteros: suerte del que no tiene nada, pues yo debo a todos... (que no fue un paso trivial)
-racionales:el nacimiento de las raciones de pizza y... ¿las proporciones de belleza?
-reales: completando la recta agujereada (pura formalización matemática, pues en la practica, como ya se dijo, las ciencias utilizan constantemente aproximaciones, esto es, racionales).

A partir de aquí, el camino se divide en dos:

-expandiendo dimensiones: los complejos (2D), los cuaterniones (3D), los octoniones(4D), los sedeniones(5D), y demás álgebras n-dimensionales, con n potencia de 2 (los únicos cuerpos conmutativos que contienen $\mathbb{R}$ i son un $\mathbb{R}$ espacio vectorial de dimensión finita son: $\mathbb{R}$ o bien $\mathbb{C}$(Weierstrass,1861) . Si prescindimos de la conmutatividad, se añade a la lista $\mathbb{H}$(Frobenius,1878). Prescindiendo de la asociatividad, las únicas álgebras de división reales alternativas[cada dos elementos generan una subálgebra asociativa] de dimensión finita son: $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{O}$(Hurwitz,1896; Zorn,1933; Milnor, Bott y Kervaire, 1957). Las siguientes construcciones de  Cayley-Dickson permiten generar otras sucesivas n-algebras, perdiendo en el camino más propiedades. Por otra parte, las álgebras geométricas de Clifford-Grassman conservan la asociatividad y permiten una mejor descripción del espacio (además de ser isomorfas a las álgebras matriciales completas y poseer tres teoremas de periodicidad-isomorfia).Cambiando de tercio, se puede recorrer esta historia siguiendo el hilo al concepto de producto vectorial, que generaliza en el calculo tensorial)

-aumentando la precisión sobre la recta (inclusión de los infinitesimales o números infinitamente pequeños[a partir de los cuales se construyen tambien los infinitamente grandes]): considere un numero mayor que cero pero más pequeño que cualquier otro numero real.  Si es capaz de imaginárselo (pese a la densidad de la recta), ya tiene usted en su mente un hiperreal puro. Para la mejor visualización de este cuerpo, uno puede considerar que tiene un microscopio  y que los números reales son átomos. De esta manera, tenemos que entre estos átomos existen unos subatomos que los conectan y que son los hiperreales.
    Quiero hacer notar que, en esencia, esta definición ya se tenia en el s.XVIII, donde Newton aclaraba la confusión que sufría entonces un primerizo calculo hablando de 'cantidades nacientes', es decir, de los valores que tomaba una 'magnitud variable' en el preciso instante en que dejaba de ser cero, sin llegar a ser todaqvía una cantidad finita (entendiendo por cantidad finita un número real). Irónicamente, el tratamiento de Newton desplazo al de Leibniz, introductor del concepto de monada (filosófica y matemáticamente) que daba un marco teórico mucho más satisfactorio e intuitivo al uso de los infinitesimales. Es más: mucho antes, cuando los griegos consideraban números que no cumplían la propiedad arquimediana, estaban trabajando con ellos, claro esta, sin rigor alguno.
     Sea como fuere, estos métodos cayeron obsoletos durante el XIX, cuando se impuso el calculo por desigualdades (épsilon-delta) junto con la noción de limite en lo que se conoce como la aritmetización del análisis, sinónimo de rigor absoluto, en claro contraste con los procedimientos anteriores, razón por la cual, quizá, el uso de hiperreales es conocido actualmente como Análisis No Estándar (NSA,siglas inglesas). Tal fue el éxito de ese cambio de paradigma que no fue hasta 1966 gracias a Robinson que pudo finalmente formalizarse el uso de los hiperreales con pleno rigor, mediante el uso de ultrafiltros lógicos.
    Resumidamente, podríamos decir que el análisis (estandarizado) no es más, en el fondo, que una formalización engorrosa de las ideas intuitivas del NSA, el cual se vio marginado por mucho tiempo por su falta de rigor. Sin embargo, debido en parte a la costumbre, en parte a su reciente construcción lógica, aún hoy, a pesar de su finalmente admitida legalidad, y su carácter más intuitivo, su influencia y uso como tal es minoritario y criticado, motivo que me lleva a defenderlos.

De todos modos, he de reconocer que en mi trabajo profundizo menos de lo que me agradaría sobre estas cuestiones, por lo que dejo como referencias principales para su estudio las siguientes:

Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, de Jerome Keisler
Análisis no estándar, de Ivorra
wikipedia


¿Y porque me resulta tan interesante todo esto?

1.Negando axiomas

La construcción de estos números supone la negación del axioma de Cantor-Dedekind (sobre la biyección entre los reales y la recta numérica) y la propiedad arquimediana. Esto pone de manifiesto la arbitrariedad de algunos axiomas y cuestiona su carácter innegable. Y poder hacer esto en matemáticas, llamada a veces como "la gran tautología", supone hacer temblar cualquier sistema axiomático y cualquier presunta verdad que aclamemos como si fuese absoluta o única. Si la matemática duda, si una verdad hecha para ser verdad reconoce que puede generalizarse más y suprimir por ende algunas supuestas verdades obvias, tu deberías dudar más aún.
(Actualmente, ya en segundo de carrera y tras mi trabajo de historia, mi visión es algo diferente: entiendo como axioma precisamente una restricción de todas las posibles verdades que se asume por comodidad, ya que particularizar/contextualizar nuestro campo de acción nos permite afirmar más cosas sobre nuestros objetos de estudio. Así, un axioma es una autoridad que nos limita a un caso particular de un contexto más amplio que no conocemos. Por ejemplo, el V postulado de Euclides da lugar a la geometría euclidiana, caso particular de la rienmaniana; la construcción de los hiperreales supone implícitamente la de los reales sin necesidad de considerar axiomática alguna, lo que puede ser una buena manera de esquivar los teoremas de incompletitud de Gödel; etc.)

De hecho, se reafirma así que la base de la matemática no es tanto sus axiomas (que, por Skolem, pueden diferir, y que, por Gödel, pueden ser incompletos) sino sus definiciones, ya que el análisis no estándar de Robinson es una lógica de primer orden que se construye sin la necesidad de axiomas (si bien es posible su elaboración para evitar los engorrosos[para los matemáticos] mecanismos lógicos, según Analisis no estandar(final de la pg.8 de la introducción) de Carlos Ivorra (un personaje fascinante, polifacético y generoso, que ofrece públicamente y con fines ¿pedagógicos? sus trabajos en matemática, además de un resumen en construcción de la historia universal, tratados filosóficos personales, recopilaciones y comentarios de la poesía de Gongora, curiosidades,...)

2.Extrapolación: buscando la infinita precisión
( $0< \delta_{i+1} < \delta_i, \delta_i \in \mathbb{ R}_i^*$)

Considere ahora un numero mayor que cero pero menor que cualquier hiperreal. Haga esto sucesivamente con los nuevos cuerpos adquiridos. Lo que obtenemos al fin es que toda construcción esta perforada por números de una precisión mayor: jamas alcanzaremos la "total" completitud de la recta (y seria muy interesante formalizar esta generalización: no tengo constancia de que se haya hecho algo así, aunque si que he oído hablar de las generalizaciones como los superreales o los surreales).

Por otra parte, podríamos considerar la existencia de hipercomplejos (no confundir con las álgebras n-dimensionales para las cuales se utiliza este nombre), esto es, un plano complejo cuyas coordenadas vengan dadas por hiperreales en vez de por reales. Esto se debería de poder generalizar para cualquier dimensión y precisión. Y creo que esto seria interesante no solo desde un punto de vista formal, sino también físico:

-Del mismo modo que Leibniz se quejaba sobre la ambigüedad de $x^2+y^2=r^2$ a la hora de representar la circunferencia, yo me mantengo receloso ante afirmaciones como "la masa del foton tiende a cero" o "existen partículas sin masa", más aún cuando luego se observa que tal o cual partícula que antes se consideraba de masa nula ahora es mensurable gracias a las mejoras en los instrumentos de medición, por mucho que pueda resultar negligible; también lo es el error del calculo Newtoniano frente al Einsteniano a rapideces bajas, y sin embargo son dos concepciones del cosmos completamente opuestas: cosas de las generalizaciones y particularizaciones...

-También me inquietan afirmaciones como "la velocidad de la luz es insuperable porque su rapidez es infinita". ¿Con que transfinito se corresponde ese infinito?  ¿Es realmente insuperable? Por una parte, hemos de distinguir los conceptos de velocidad de grupo, fase,...que si son superables; por otra, existen algunas consideraciones teóricas que si que permitirían superarla.

-A más a más, si el universo tuviese topologia de toro, lo cual no se descarta, se podrían recorrer distancias infinitas debido al carácter ilimitado de la topologia (esto es, si voy en linea recta el suficiente tiempo, retornare al punto de partida).

3.Mayor precisión estadística
(guarda cierta relación con los indivisibles de Cavalieri: aunque él no de una definición rigurosa de los mismos, da varios ejemplos geométricos como los aquí expuestos)

Sobre la utilidad de estas construcciones, expondré un caso sobre el que tenia pensado hablar aparte. Escoja dos números reales entre 0 y 1 al azar. La probabilidad (o mejor dicho, la medida de probabilidad[extensión de la definición clásica de probabilidad])  de que su suma sea mayor a 0,5 es del 50%, que es la misma probabilidad de que sea menor a 0,5. Esto se obtiene de dividir el área total del cuadrado formado por los dos segmentos de 0 a 1(uno para cada numero que selecciona al azar) entre el área comprendida por los números favorables a la condición dada. Pero la probabilidad de que sea exactamente  0,5 es cero (debido a que el área definida por una recta, en análisis estándar, es cero). Sin embargo, sabemos que, aunque la probabilidad es remota (especialmente si los números se escogen realmente al azar, pues el cerebro esta poco capacitado para ello), no es absolutamente imposible.

Pero no nos quedemos aqui: consideremos ahora un punto concreto de los infinitos formados por la recta x+y=0,5, esto es, consideremos dos números concretos que sumados den 0,5. La probabilidad de acertar, intuitivamente, es infinitamente menor que antes, pues tenemos que escoger un punto entre los infinitos posibles. Sin embargo, no podemos considerar una probabilidad menor que la anterior, que era 0 (una probabilidad negativa no tiene sentido y es obvio que aplicando el razonamiento anterior, la probabilidad de acertar vuelve a ser 0).

Esta aparente contradicción, o mejor dicho, falta de precisión, podría corregirse fácilmente con ayuda del NSA, ya que tendríamos que el área de un segmento, y por tanto la probabilidad pedida, es un infinitesimal (pues su base es infinitesimal), y que el área del punto, la probabilidad de acertarlo, es un infinitesimal de orden dos, en este contexto.

¿Y porque digo que esta aparente antinomia es un ligero desfase de precisión? Consideremoslo de este modo: si el numero escogido tiene n decimales, la probabilidad de acertar es de $\frac{1}{10^n}$. Si n tiende a infinito (números irracionales) tenemos que la probabilidad de acertar es 0.Pero esta es solo una posibilidad de las n factibles. Por la regla del producto, la probabilidad de acertar es el producto de probabilidades, por lo cual ya tenemos que es cero.

Sin embargo, sigo defendiendo que el uso del NSA hace más intuitiva y precisa estas resoluciones. Es más, del mismo modo que Cantor, a propósito de la paradoja de Galileo (hay tantos naturales como cuadrados de naturales, o, en general, los conjuntos infinitos son equipotentes con subconjuntos propios, lo que por aquel entonces contradecía una de las nociones comunes de Euclides: el todo es mayor que la parte, lo que es cierto solo para el caso finito), construyo su escalera de trasnfinitos, yo propondría, para superar la "paradoja" o falta de precisión citada, construir una escalera análoga pero de infinitesimos (en el articulo que se enlazara a continuación, en el final del apartado 6, se muestra como Cantor se negó a ello, frente a la visión que aportaría después Robinson(7).En el apartado 8, por ultimo, se da una visión general comprensible para no matemáticos que coincide con lo dicho en "1.negando axiomas" ).

En ultima instancia recomiendo este articulo, que da una visión amplia y general, histórica, sobre este interesante tema, además de este otro, similar pero a propósito del álgebra geométrica. Si los comparamos observaremos que los protagonistas son coincidentes: Euclides, Descartes y Leibniz como punto clave de inflexión y divergencia entre estas dos concepciones del numero: la geométrica y la analítica. Además, ambas han sufrido de un cierto rechazo por la comunidad científica en general a pesar de resultar más intuitivas y eficientes.





NOTA: la calidad del pdf en lo que respecta a las imágenes no es muy buena. Si alguien quiere, puedo pasárselas en formato geogebra.

*"«n» es un número, es entonces la definición de «que existe un concepto “F” para el cual “n” aplica», que a su vez se ve explicado como que «n» es la extensión del concepto «equinumerable con» para «F», y dos conceptos son equinumerables si existe una relación «uno a uno» (véase que no se utiliza el símbolo «1» porque no está definido aún) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyección en otros términos)." 
Frege, Los Fundamentos de la Aritmética: la Investigación logico-matemática del Concepto de Numero.


Es tomada como referencia por muchos matemáticos,  Russell entre ellos, cocreador de principia mathematicaSin embargo, y personalmente, prefiero por mucho la concepción de Dedekind: primero define/construye los naturales (cf. ¿Que son y para que sirven los números? (73)) y luego, a partir de estos y mediante extensiones, construye el resto de estructuras. Otra posible visión seria la de Robinson.

4 comentarios:

  1. Me pareció interesante, sobre todo por aplicar la probabilidad para los infinitesimales. Sin embargo, ¿entonces, cualquier real es un átomo? Había leído que sólo era el cero. Y ¿Cómo se conforman las mónadas?

    ResponderEliminar
  2. No estoy muy informado al respecto, pero no soy el único que ha establecido paralelismos entre las probabilidades y el NSA (http://en.wikipedia.org/wiki/Influence_of_non-standard_analysis#Probability_theory)

    Y sí, cualquier real puede verse como un "átomo" inmerso en el cuerpo más denso de los hiperreales, si se permite esa licencia/ metáfora. Tal vez te extrañe porque hayan utilizado esa comparación (que es puramente heuristica o propedeutica) en otro contexto, pero no veo razón alguna para no entenderlo así (¿puedo saber donde leíste tal cosa? Tengo curiosidad)

    Por ultimo, las monadas no son más que entornos/ intervalos/ bolas de centro un numero cualquiera y de radio un numero hiperreal puro (http://en.wikipedia.org/wiki/Monad_(mathematics)

    ResponderEliminar
  3. desde 1993 fueron construidas n-extensiones propias de *R(los hiperreales) de cardinales aleph-n, crecientes (*R igual que *R,son de cardinal a-0 -bajo HGC, **R, de cardinal aleph-2, ***** ****R, de cardinal aleph-n) esto fue hecho por elías sélem y está publicado en APORTACIONES MATEMATICAS, COMUNICACIONES 20, 1997, SOC. MAT. MEX.. querer extender *R a **R usando ultrafiltro de fréchet, como se hace para pasar de R a *R, no funciona, se obtiene un conjunto isomorfo a *R. fue necesario idear y construir un ultrafiltro coacotado sobre *N ( U = { A c *N : *N-A acotado}),con el cual usando las hipersucesiones (sucesiones de hiperreales con índices en *N) se consigue el conjunto **R = H = { h : *N --> *R} / U. esta construcción muestra que NO SE PUEDE LLENAR LA RECTA GEOMÉTRICA, en el sentido de ya no poder agregarle puntos que satisfagan las propiedades de colinealidad, y que además tiene tantos puntos como espacios vacíos (que no son 'agujeros matemáticos' en el sentido de dedekind), v.g. entre 5 y {x e R : x>5} hay un espacio vacío, en el cual se pueden acomodar tantos puntos - o números como se desee..... creo que ya me extendí demasiado, si alguien quiere hacer comentarios y/o preguntas, es cribir a : eselem16@hotmail. com. saludos. elías sélem

    ResponderEliminar
  4. desde 1993 fueron construidas n-extensiones propias de *R(los hiperreales) de cardinales aleph-n, crecientes (*R igual que *R,son de cardinal a-0 -bajo HGC, **R, de cardinal aleph-2, ***** ****R, de cardinal aleph-n) esto fue hecho por elías sélem y está publicado en APORTACIONES MATEMATICAS, COMUNICACIONES 20, 1997, SOC. MAT. MEX.. querer extender *R a **R usando ultrafiltro de fréchet, como se hace para pasar de R a *R, no funciona, se obtiene un conjunto isomorfo a *R. fue necesario idear y construir un ultrafiltro coacotado sobre *N ( U = { A c *N : *N-A acotado}),con el cual usando las hipersucesiones (sucesiones de hiperreales con índices en *N) se consigue el conjunto **R = H = { h : *N --> *R} / U. esta construcción muestra que NO SE PUEDE LLENAR LA RECTA GEOMÉTRICA, en el sentido de ya no poder agregarle puntos que satisfagan las propiedades de colinealidad, y que además tiene tantos puntos como espacios vacíos (que no son 'agujeros matemáticos' en el sentido de dedekind), v.g. entre 5 y {x e R : x>5} hay un espacio vacío, en el cual se pueden acomodar tantos puntos - o números como se desee..... creo que ya me extendí demasiado, si alguien quiere hacer comentarios y/o preguntas, es cribir a : eselem16@hotmail. com. saludos. elías sélem

    ResponderEliminar

El pudor es un estigma social: descuartizame, y mis manos resquebrajadas te aplaudirn.