NOTA: Aunque recibiré con los brazos abiertos a cualquier nuevo visitante, especialmente en lo que concierne a los proyectos de Vaho de la Bruma, nótese que este blog permanece enterrado desde Julio de 2013, tras un año de deterioro progresivo y otro de notable silencio (cf. Recapitulación). El Fénix que de estas cenizas quizá nacerá, en Scribd, si es el caso, lo hará.
Derechos: la imagen de cabecera pertenece a Platinum FMD, mientras que la del fondo es de ¿Eric Sin (Depthcore)?

domingo, 26 de junio de 2011

Aschero y los números primos


NOTA MENTAL
No volver a hacer de recolector de enlaces e información varia que ni tan siquiera viene al caso  (cf. los puntos 3 & 4, básicamente) ni hacer introducciones de pacotilla, ni nada, en fin, que se le parezca a este post, para hacer una simple contestación. El punto 2 por sí solo bastaba... y aún parte de éste es redundante o superfluo. No obstante..."Soy joven, puedo darme el lujo de ser estúpido"(entfremdet).


1.Introducción

Los números primos son un tema verdaderamente fascinante, los fermiones de la matemática a partir de los cuales se construyen todos los naturales y, por extensión, los reales. En consecuencia, existe una cantidad ingente de información sobre el tema: en divulgación, en ficción, en investigación de vanguardia, en textos técnicos, en el arte, en la criptografía,...

Me resultaría absurdo, por lo tanto, reproducir sin más esta información aquí, tan interesante como redundante en la red, bibliografías, documentales y demás fuentes generalistas o especificas que se sobreponen mutuamente (contrastándose así). Sin embargo, también lo es tratar el tema sin previo conocimiento de causa por parte del lector, por lo que me veo en la obligación de recomendarle o facilitarle alguna fuente concreta.

Y aunque suene tópico e insulso, y no siempre exento de errores, apelare a Wikipedia. Creo que el valor de las enciclopedias en general, y de esta en particular, es inestimable. Si el articulo está bien hecho (y suele estarlo si no es un tema muy especifico), allí encontraras toda la información básica sobre un tema concreto, las palabras claves y las cuestiones de tu interés sobre las cuales luego podrás googlear para buscar documentales, artículos o libros que vayan desde la más elemental introducción y/o divulgación hasta la mayor especificación técnica, de modo que tendrás la capacidad de adentrarte hasta donde desees con total control sobre el qué y el cuanto. Y en lo personal, como gran creyente en el autodidactismo (y por extensión en la autosuficiencia y autonomía) y la polimatía (y lo polifacético en general, y su transversalidad cohesionadora), esto me parece muy importante y es así como he aprendido muchas de las cosas que sé, junto a mi voracidad de conocimiento y mi curiosidad que hacen de  primer estimulo, de efecto domino, además de mi escepticismo que me hace replantearme muchos asuntos que se dan por obvios y tras los cuales existe más complejidad de la que aparenta nuestro uso (p.e.,a menudo se describe a alguien como inteligente o a algo como arte, mientras los conceptos de arte e inteligencia restan incomprendidos y sobre los cuales la historia y el pensamiento ha parido incontables teorías confrontadas y controvertidas [hecho consumado por todas las ideas abstractas y generalizadoras: a la vez tan cercanas y tan sumamente distanciadas de nosotros...]) . Y por supuesto, también es necesaria una fuente primera y generalista, con actualizaciones continuas, que proporcione una amplitud temática a partir de la cual nos podamos interesar por uno u otro tema (p.e.: periódicos, revistas como “muy interesante”, webs como Neoteo, las conferencias TED,... [aunque esto va a gustos], blogs y vblogs[en muchos es común una dedicación total o parcial a curiosidades y rarezas o temas de interés general o muy específicos],...).

Actualización: de un tiempo a esta parte he sido muy critico con estas vías de información de calado divulgativo que solía respetar ingenuamente y que tienden a ser imprecisas. En efecto, ese es el principal problema de la polimatía: que tiende a ser superficial. Sin embargo, quiero aclarar que lo que vendrá a continuación lo escribí en calidad de estudiante de 1r de matemáticas (en base, más concretamente, a la asignatura de Aritmética que estaba cursando). El tratamiento/exposición puede ser, por tanto, algo tosca o ingenua, pero, en cualquier caso, correcta.

Tras este inciso a propósito de “mi metodología básica de investigación” o “¿cómo informarse?” (y supongo que la de muchos), puedo decir que en el caso de los números primos no es diferente. En Wikipedia se hace referencia desde la espiral de Ulam hasta las composiciones de Messiaen, pasando por la construcción exacta de polígonos o citaciones de autores relevantes, como Don Zagier, quien afirma:

“Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles de forma tan incontestable que quedarán permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a pesar de su definición simple y del papel que desempeñan como ladrillos con los que se construyen los números naturales, los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar”

Y esta esquizofrenia tan particular y familiar es la que quisiera tratar vagamente aquí.

2.¿Destrozando sueños?: matizando la paradoja y concienciando sobre este elitista juego que es la matemática

Aschero cree haber encontrado la respuesta (texto integro y óptimo para la lectura, del que supe después) a esa azarosa distribución. Reto al lector, antes de continuar, a: matematizar la metáfora, demostrarla rigurosamente (y no a limitarse a dar ejemplos como hace Aschero), entender lo que significa y cuales son sus limitaciones, y encontrar otros relojes. Comencemos:

PARTE I: reloj

a)Lo que Aschero está afirmando es que todo numero primo es congruente con 1,5,7,11,13,17 modulo 18, ie, que todo numero primo es de la forma $18q+r$, con $r=1,5,7,11,13,17$

b)Sabemos que, dados $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0, \exists{q,r \in\mathbb{Z} }$ únicos tales que $a=bq+r, 0 \leq r<\left |{b}\right |$
Esto es lo que se conoce como división entera (de $a$ entre $b$), con $q$ cociente, $r$ residuo (si alguien quiere la demostración, que la pida).

También sabemos que, por definición, $a$ no sera primo si es producto de dos números, de modo que $a=18q+r$ no sera primo si $r=0,2,3$ o cualquiera de sus múltiplos debido a que $18=2 \cdot3 \cdot 3$, de manera que en estos casos podríamos sacar factor común y expresar $a$ como producto de dos números. Sin embargo, si $q=0$, no podremos sacar factor común, de modo que en estos casos $r$ podrá tomar el valor 2,3, que son los primos que no vienen dados por el reloj.

Por tanto, todo numero primo puede expresarse como Aschero dice.

Quiero remarcar la importancia de las demostraciones y lo peligroso, como hace Aschero, de confiar en un numero finito de casos concretos que cumplen la propiedad, con el siguiente ilustrativo caso histórico (que dista mucho de ser el único):

El matemático Polya clasificó los números en dos grupos: los de "tipo par" (que son los que pueden descomponerse en un número par de factores primos) y los de "tipo impar" (que son los que se descomponen en un número impar de factores primos). Después construyó las funciones P(n) (que calcula la cantidad de números de "tipo par" menores o iguales que n) e I(n) (que calcula la cantidad de números de "tipo impar" menores o iguales que n). Con estas definiciones conjeturó, en 1919, que: para todo n>2, I(n)>P(n). Sin embargo, Lehman encontró un contraejemplo en 1962: 906180359. Así pues, a pesar de corroborarse la propiedad en una "infinidad" de valores, resulto ser finalmente falsa. La demostración general, por tanto, no es un mero tecnicismo garante; es, no lo olvidemos, una necesidad que el rigor de la matemática exige.

c)Resumiendo, Aschero crea una partición para los números primos, clasificandolos en 6 conjuntos (según el residuo $r$ escogido). En palabras suyas, “los números primos solo aparecen en 6 horas”, esto es, si un numero es primo, pertenecerá ineludiblemente a una de esas horas, ie, se expresara de la manera antes comentada.

Primero de todo quiero aclarar que esta ordenación, que nace, como ya he mostrado, de la antigua y conocida división entera, no es nada nuevo ni revolucionario como él parece insinuar. Por otra parte, quiero remarcar el carácter causal (que no casual) de la proposición.

Más allá de algunas propiedades generalistas que no nos dicen nada sobre su distribución(infinitud, relación con los números compuestos[divisibilidad, descomposición,...],...) la mayoría de propiedades que definen a los números primos son del tipo: si en la expresión tal el numero cual es primo, entonces se cumple esto otro. Este es el caso de la proposición que estamos tratando, y esto es a lo que se refiere Zagier cuando afirma que siguen un orden casi militar. Son propiedades, pues, reitero, de tipo causal: $A \rightarrow B $, de manera que el reciproco, en general, no es cierto. En este caso concreto, el primer contraejemplo de la implicación contraria es: 18·1+7=25=5·5. Y Aschero es consciente de esta limitación cuando afirma, por ejemplo, que “los intervalos del reloj (en el primer giro de la aguja) son los siguientes: 4,2,4,2,4,2”. Y es a propósito de la posición de estos huecos, de los contraejemplos del reciproco, que podemos afirmar como Zagier el carácter azaroso e impredecible de la distribución de los números primos.

Por otra parte, mencionar que también existen propiedades del tipo “si y solo si” que certifican o obtienen inequívocamente números primos, como por ejemplo el teorema de Mills (más performativo que realista como apuntaron Hardy y Wright (1979) y Ribenboim (1996)), el valor de la función phi de Euler, el corolario del criterio de Euler que se utiliza en el test Solovay-Strassen,el teorema de Wilson,... . Sin embargo, estas propiedades son computacionalmente inviables de manera que no nos predicen la posición de los nuevos primos, sino que simplemente verifican que lo son.

Finalmente, para redondear el tema, decir que si existe una propiedad que describe la distribución global de los números primos: el teorema de los números primos (y los teoremas de Bertrand y Erdös), además de funciones varias que contienen un gran numero de primos, descritas, por ejemplo, en las espirales de Ulam o de Sacks

d)Teniendo todo lo dicho en cuenta, podemos crear una infinidad de “relojes de Aschero”:

-Todos los primos excepto 2 se pueden expresar como $2k+1$. Esto es equivalente a decir que en un reloj de Aschero de dos horas este siempre da las 2 o que todos los números primos excepto 2 son impares. Otra formulación seria: al dividir un primo entre 2 el residuo siempre sera 1 (excepto en el caso de 2).

- Todos los primos excepto 3 se pueden expresar como $3k+1$ o $3k+2$, o lo que es lo mismo, como $3k \pm 1$ (ja que $3k+2=3(k+1)-1$, donde $k$ es un entero cualquiera [y es obvio que $k$ y $k+1$ son igual de enteros])

-Todos los primos excepto 2 se pueden expresar como $4k+1$ o $4k+3$, o analogamente, como $4k \pm 1$

-Todos los primos excepto 5 se pueden expresar como $5k+1, 5k+2, 5k+3,5k+4$, ie, como $5k \pm 1, 5k \pm 2$

-Todos los primos excepto 2,3 se pueden expresar como $6k+1, 6k+5$, ie, $6k \pm 1$

….



PARTE II: propiedad

Aschero, además de posicionarlos en su reloj, declara lo siguiente: “la suma de los dígitos de cada uno de los números primos superpuestos [en el reloj],se transforma en el número inicial de cada superposición[los residuos 1,5,7,11,13,17]”.

Pensemoslo un momento: sabemos que la suma de los dígitos de un numero primo no puede ser múltiple de tres porque si lo fuera seria divisible entre tres (por los criterios de divisibilidad [de los que también se deduce trivialmente otro de sus escritos]), y esto no es posible porque es un numero primo (sólo divisible por 1 y él mismo). Por lo tanto, la suma de los dígitos de un primo (y la suma de los dígitos del numero resultante y así sucesivamente hasta obtener un numero de un solo dígito) resultara finalmente en: 1,2,4,5,7,8 (eliminando los números múltiples de 3:3,6,9). Observamos, además, que sumando los dígitos de 11,13,17 obtenemos 2,4,8. Pero esto no significa que 2,4,8 se obtengan solamente mediante estos números. Un contraejemplo a la proposición de Aschero es 101, cuya suma de dígitos es 1+0+1=2 sin ser primo.

Lo más gracioso del asunto es que él dice haber analizado los 10000 primeros números. He observado que en su trabajo, cuando analiza 101 hace 10+1=11. Esto me hizo pensar que tal vez había entendido mal su proposición. Sin embargo, cuando analiza 137 no hace 13+7=20 sino 1+3+7=11. Esto demuestra por su parte una total falta de rigor, y pone énfasis en la necesidad de, primero, enunciar claramente las proposiciones y, segundo, analizar mínimamente por nosotros mismos aquello que se afirma en bloque (un método usado en ocasiones para disuadir a la gente, como diciendo: “¿quieres analizarlo? Hazlo: yo ya lo hice por ti, pero si quieres perder el tiempo...”. En otro contexto, los filósofos de la sospecha pusieron en evidencia ideas que se habían afirmado como obvias desde el principio de los tiempos, como la racionalidad del ser humano [aquello, de hecho, por lo que se les ha definido siempre, dejando a un lado su carácter más irracional e impulsivo, emocional y visceral]).

Por otra parte, he querido separar el concepto del reloj del de esta proposición no solo porque la trivialidad de uno pudiera camuflar la falsedad del otro, sino porque la conjunción de estos no aporta nada: no dejaría de ser una curiosidad sin trascendencia, visto desde la actual perspectiva.

COMENTARIO FINAL
Para finalizar esta contestación a Aschero, quisiera, ante todo , no haberle desanimado ni a él ni a nadie que tenga a la matemática como hobby. La historia esta repleta de personas con un gran interés por esta rama del conocimiento que han trascendido en él a pesar de su falta de estudios formales al respecto: el caso más épico es el de Fermat, jurista que fue nombrado por sus coetáneos como el “príncipe de los aficionados” y que contribuyo y estimulo notablemente a los avances de esta ciencia. Otro caso destacable es el del burgués Paul Wolfskehl, quien a punto de suicidarse, se vio ensimismado en la corrección de una proposición matemática, salvándole la vida.
Y en el otro extremo, el genio matemático de Ramanujan obtuvo importantes y/o barrocos resultados matemáticos sin una formación demasiado rigurosa (llego ha decir que se los revelaba una diosa en sueños)

Además, quisiese citar el articulo “El poder creativo de un novato”, de Fernando Trías de Bes, El País Semanal, n. 1640 (2 marzo 2008), pp. 34-35 (que sirve de apología a los aficionados). Sin embargo, no lo he hallado en la red por más que he buscado en la hemeroteca, o Google en general. Supe de él por Álex Hernández, encontré un extracto aquí y un “esquema” acá. La idea es simple: el novato, que no esta limitado por las normas y convenciones del experto/técnico/especialista... puede sugerir más fácilmente ideas alternativas, esto es, hacer uso del pensamiento lateral. 

Lo que me recuerda al excepcional caso de Ramanujan, que, aunque no era precisamente un principiamente, no tenia una formación matemática convencional. Así, Hardy escribe sobre él:


"Había un gran rompecabezas. ¿Qué método debía seguirse para enseñarle matemáticas modernas?. Las limitaciones de su conocimiento eran tan asombrosas como su profundidad. Era un hombre que podía trabajar con ecuaciones modulares y teoremas de multiplicación compleja, con medios desconocidos... Pero nunca había oído hablar de una función doblemente periódica o del teorema de Cauchy ni tenía la más remota idea de lo que era una función de variable compleja. Describía nebulosamente su concepto acerca de lo que constituía una demostración matemática. Había obtenido todos sus resultados, nuevos o viejos, verdaderos o falsos, por un proceso mixto de demostración, intuición e inducción, del cual era completamente incapaz de dar cualquier razón coherente. 
Era imposible pedir a este hombre que se sometiera a una instrucción matemática, que intentara aprender de nuevo matemáticas desde el principio. Temía además que, si yo insistía indebidamente en materias que Ramanujan consideraba fastidiosas, podía destrozar su confianza o romper el encanto de su inspiración. Por otra parte, había cosas que era necesario que aprendiera. Algunos de sus resultados eran equivocados, en particular los que se referían a la distribución de números primos, a los que daba la mayor importancia... Así yo tenía que intentar enseñarle y en cierto modo lo logré, aunque, obviamente, yo aprendí de él mucho más de lo que él aprendió de mí..."


Es interesante observar, también, y ya que hemos tratado el tema de los números primos, que, como hace notar Hardy (A pesar de que Ramanujan tuvo numerosos y brillantes éxitos, sus trabajos sobre los números primos y sobre todos los problemas relacionados con esta teoría estaban ciertamente equivocados. Puede decirse que éste fue su único gran fracaso. Pero todavía no estoy convencido que, en cierto modo, su fracaso no fuera más maravilloso que ninguno de sus triunfos...), fue uno de los pocos campos en los que fracaso. Esto resulta muy indicativo si tenemos en cuenta que otros de sus fracasos fueron la resolución de la quintica o la cuadratura del circulo, problemas, ambos, que se demuestran irresolubles a partir de la teoría de Galois. ¿No hay orden, por tanto, en la distribución de los números primos, a pesar de lo que dice la hipótesis de Riemann?

3.¿Quien es Aschero?

Aschero es el inventor de la numerofonía (junto a otros códigos, como la tactofonía para los ciegos), un lenguaje musical más intuitivo (algo así como el análisis no estándar de la matemática), sencillo y fácil de aprender que el actual sistema de signos. Pretende así (no se yo lo suficiente como para juzgar si lo consigue, aunque lo parece) reducir la multiplicidad inútil de entidades (p.e., eliminando pentagrama, claves, bemoles, sostenidos y otros muchos símbolos por números con color, tamaño y sub o superíndice).

Si tenemos en cuenta la nueva complejidad de algunas partituras de hoy(pg. 6) y de ayer, el potencial de este nuevo método(que ha ido madurando a lo largo de 35 años de experimentación constante [asombroso:parecen pinturas y son partituras]) resulta prometedor (y es por ello que se le pueden perdonar algunas de sus ingenuas apelaciones a la ciencia [en la que se ampara]).

Algunos enlaces más de interés serian:

Otros:
-Web
-Bibliografía: completa y selección

Sin embargo, la mayoría de la información sobre numerofonía (y también sobre sus malabares matemáticos y aportaciones varias), recopilada y optimizada (además de ¿innecesariamente? repetida), se halla en su Canal de Scrib (principalmente en: Historia e Investigación, Marco teórico, Teoría comparativa de la musica).

Quiero reiterar que la idea subyacente me parece genial, pero que tal vez esta este recubierta de un innecesario y excesivo esoterismo.

4.Arte, musica y matemática

Más allá de las posibilidades en lo referente a la notación de la matemática en la musica, me gustaría examinar todos los puntos en común de estas disciplinas. Sin embargo, al ser demasiados (estudio físico del sonido en la acústica, útil en la planificación de auditorios o la creación y optimización de instrumentos; proceso de afinación; teoría matemática de la musica de Guerino Mazzola; las escalas musicales [procurando la armonía entre las notas], desde Pitagoras a Euler y Fourier entre muchos otros; estudios cuantitativos[Birkhoff] y cualitativos[consonancias y disonancias] de la musica; aplicación de conceptos matemáticos en la musica[proporción áurea, Mozart y los dados,el serialismo, el genio de Xenakis y su revolución,...];métodos computacionales,...) me voy a limitar a dar algunas referencias y enlaces que me parecen de interés:


-Otra aproximación general que mira con perspectiva esta larga relación para particularizar finalmente en uno de los grandes temas de la matemática en el arte: los fractales (y otros enlaces, un estudio, una exposición y un divulgador). Muy recomendable la ultima web que referencian al final, con programas generadores de esta clase de musica y ejemplos muy ilustrativos respecto de su potencial.

-The Sound of mathematics. Imprescindible: podrás escuchar y saber como se hicieron diferentes composiciones basadas en variados conceptos matemáticos usados de manera informal. Los resultados son increíblemente eufónicos. En la misma linea, hallamos esta otra composición y esta aplicación. Por otra parte, esta joya de internet rescatada por Reocities (proyecto aún en crecimiento y cuya generosidad es impagable) de la antigua Geocites nos ofrece un listado de links con trabajos similares. Muchos de ellos están rotos, pero otros muchos pueden rescatarse a través de Internet Archive Wayback Machine: solo hemos de pegar allí el enlace que obtenemos clicando sobre él con el botón derecho y “copiar la ruta de enlace”. De este modo, simulando un muestreo de juicio de bola de nieve idóneo para un colectivo minoritario como este, podemos, a partir de las sucesivas recomendaciones de las sucesivas webs que hallemos, partiendo de esta primera, recolectar abundante información. Me abstengo, a día de hoy, a hacer este trabajo; pero hay mucho material de interés aquí.

-Divulgamat. Web oficial de divulgación, con muestras de exposiciones, artículos sobre su incidencia en la cultura,...

-Sectormatematica. Otro clásico, muy amplio en las temáticas. En su sección de musica se encuentra una tesis que trata el tema: incluye una visión histórica, capítulos introductorios a la probabilidad y a la musica (de modo que todo aquel interesado debería poder acceder), muestra y analiza ejemplos concretos (Mozart y Xenakis) y propone sus propias composiciones. Menos centrados en el uso concreto de la probabilidad y más en las diferentes conexiones a lo largo de la historia, hallamos dos artículos más, uno escrito por músicos y otro por matemáticos. En la misma linea, menos completo, más vago (escrito para estudiantes de ESO, se dice) y disperso temáticamente, podría citar también esta otra web

Otras referencias:
-Miscelánea de otro blog de matemática divulgativa (del que destaco el frikismo de esta melodía [de la que existen muchas "traducciónes" si se buscan en youtube] que me recuerda a otra de Kate Bush, o del “teorema de Thales” del genial y cómico grupo de musica “teatral”, Les Luthiers)
-Un articulo ordenado y con más enlaces de un blog de divulgación matemática.
-Articulo de El país (a propósito del día escolar de las matemáticas dedicado a la musica,2008)
-Otro análisis sobre la mutua historia entre musica y matemática.
-Comentarios de un musico profesional (también tiene otra sección dedicada a la notación: ¿seria de su interés la numerofonía de Aschero?)

ACTUALIZACIÓN(1/11/2011)
Queriendo saber si Aschero había corregido o borrado sus poco ortodoxas afirmaciones matemáticas, me encuentro con que en la segunda pagina plagia literal y flagrantemente un fragmento de mi texto, así como borra el comentario que redirigía a este análisis. No tomare medidas en tanto en cuanto no aporto ninguna idea original, y estos conocimientos están al alcance de cualquier libro de aritmética. Sin embargo, el plagio es obvio porque ni siquiera se ha dignado a reescribir el texto, y como mis expresiones matemáticas están escritas en LaTeX, a él se le ven horribles. No hace falta decir que ni me cita, ni agradece el aporte, ni copia la parte del texto en la que le refuto: sólo la que le interesa, claro (cf. cherry picking)
   Lo cuento como anécdota, pues su ingenuidad me resulta francamente divertida. Pero quizá lo que más me sorprende es el contraste entre mi personalidad y la suya: a menudo yo abuso de referencias, citas y enlaces para ampararme, y no dudo en corregirme, retractarme o ceder la origininalidad de mis palabras a quienes las inspiraron cuando así lo creo conveniente (al menos fuera de mi rutina, en mis escritos: de otro modo no podría tener una conversación oral fluida [si bien no niego mis dificultades para ello cuando me enzarzo en algún tema, así como mi fama de lunático pedante]).
  En fin, supongo que la agudeza de los CENSURADO no les priva de su CENSURADO, sino que la resalta. 

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