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miércoles, 27 de julio de 2011

¿Platonismo o empirismo en las matemáticas?


Cuando alguna vez he discutido sobre algún tema matemático, a menudo he oído (y dicho) frases como “tendría que verlo” o “escribemelo”; tanto en boca de profesores de bachiller como de universidad, quienes argumentaban que los problemas no se resolvían mirando a las musarañas o esperando la inspiración, sino haciendo garabatos sobre el papel1, creyendo que cada error nos acercaría más a la verdad, depurando más nuestros razonamientos y argumentos. Así lo creen también los ilustres2. Sin embargo, pese a considerarse la matemática como la más abstracta de las ciencias, apoyándose, aun así, en lo visual del lenguaje o la geometría (cf. Lo visual y lo deductivo en las matemáticas), sigue perviviendo el mito del genio3 y de la abstracción pura, como si este pudiese trascender a la contingencia de su persona. Siguen perviviendo, digo, las palabras de Platón susurrándonos y...

“mostrándole [al alma/a la razón/al entendimiento/...] que el examen a través de los ojos está lleno de engaño, y de engaño también el de los oídos y el de todos los sentidos, persuadiéndola a prescindir de ellos en cuanto no le sean de uso forzoso, aconsejándole que se concentre consigo misma y se recoja, y que no confíe en ninguna otra cosa, sino tan sólo en sí misma, en lo que ella por sí misma capte de lo real como algo que es en sí. ”4

No obstante, si bien se considera que Beethoven, Ramanujan,... eran capaces de captar la esencia de su arte a priori, casi de manera mágica, o que Euler veía más siendo ciego que vidente (tal vez por la madurez de la vejez), me abstengo a creer en esa pureza, pues parece, persisto y reitero, que sólo como mito e ideal pervive. No en vano, puede leerse en una entrevista a Panero que nos recuerda la importancia del esfuerzo y la practica:

- ¿Crees en la inspiración o en la matemática del verso?
- Creo en la matemática del verso. Esto me recuerda las siguientes líneas de Mallarmé: “Porque yo instalo con la ciencia / el himno de los coros espirituales”5. Entonces, la literatura es un trabajo y se nutre de la lectura, no de la inspiración. Yo escribo poesía técnicamente. Aquí va un ejemplo: “Soy un excremento de tus pies corocos y tal…”. En fin, el poema es la prueba de mi existencia.

Sea como fuere, me abstengo de negar o afirmar la existencia de estos genios que parecen brotar del mundo mismo de los universales de Platón, linaje ciertamente adecuado para caracterizarlos. Lo que sí que parece evidente es que la mayoría somos ajenos a ese privilegio divino que nos permite establecer una conexión directa, y sin intermediarios como la escritura, entre nosotros y nuestra arte.

Y es tal vez por esta necesidad imperiosa (y única) del lenguaje que Platón considera a la matemática como un precedente y entrenamiento para la mayor de las abstracciones, la filosofía, y que esta es primero la reflexión interior que luego se expresa mediante la palabra. Sin embargo, esto no es coherente ni con el dialogo socrático, que mediante el cuestionamiento continuo de su interlocutor (ironía) le hace indagar más allá de lo aparente, pariendo así nuevas ideas (maieutica), ni con su dialéctica ascendente, que obliga a recorrer todos los niveles de conocimiento, desde los más corpóreos a los más intelectivos (gimnasia, arte, ciencia, filosofía [y moral como elemento ubicuo]), no pudiendo, por tanto, recurrir al ensimismamiento del alma que predica, puesto que sus juicios se basan en todo un proceso previo y de carácter material, por no hablar del feedback continuo entre pensador y obra, propia o ajena, que le hace contrariarse en algunos aspectos al final de su vida, como por ejemplo con su dialéctica descendente6. “Revolucionario será aquel que pueda revolucionarse a sí mismo”(Wittgenstein)

Pese a todo, queriéndome redimir ahora de haber atentado contra la razón pura (que junto a la metafísica, también criticará Kant, dejando únicamente intacta a la matemática), gustariame atacar ahora a su extremo opuesto: el empirismo más radical que niega que la matemática pura y la lógica son conocimiento a priori, esto es, “que la experiencia era fuente tanto de nuestro conocimiento de la aritmética como de la geografía. Afirmaban que por medio de experiencias repetidas al ver dos cosas y otras dos cosas, y al encontrar que todas juntas hacían cuatro cosas, nosotros llegábamos por inducción a la conclusión de que dos cosas y otras dos cosas harían siempre cuatro cosas todas juntas.”7

Seré breve, y lo ilustrare con un ejemplo sencillo pero que es incapaz de reproducirse en la realidad física: ¿De cuantas maneras diferentes podemos extraer las bolas numeradas de una caja sin reposiciones y sin tener en cuenta el orden? Las saquemos como las saquemos, es evidente que la extracción siempre seguirá un orden; ahí es donde actúa la razón y su abstracción: esta pregunta se responde con el concepto de número combinatorio.

Para finalizar, quiero recomendar un texto más serio, amplio y de carácter introductorio, aunque algo desfasado (pero aún bastante vigente), a propósito del fascinante mundo de la epistemología matemática, aquí (también se puede comenzar a investigar a partir de wikipedia)

Destaco de él, y siguiendo la idea del empirismo matemático, Kronecker y su hilarante abandono del principio del tercero excluido. Curioso y divertido si se quiere, pero terrible si se asume.
(Actualización: este ultimo comentario nace de la pura ingenuidad. Si bien Hilbert rechazará esta postura por desechar buena parte de la matemática, posteriores investigaciones muestran la intrínseca  relación entre el intuicionismo y una de las ramas de la teoría de categorías -llamada a ser la nueva base fundacional de la matemática-: la teoría de topos. Puede verse una introducción a vista de pájaro de la historia de las matemáticas que comenta el tema aquí, y un articulo wiki centrándose en el mismo con los conceptos clave a partir de los cuales el interesado podrá profundizar).

NOTAS
1Ni que parafrasearan a Picasso: "La inspiración existe, pero tiene que encontrarte trabajando."
2Y conducir ¿no le excita? Sí, es estimulante; pero si pienso algo, necesito escribirlo. Para mí es importante manipular las palabras, no puedo hacerlo sólo en la cabeza, necesito verlo escrito; por eso siempre llevo conmigo un cuaderno para ir escarbando en las matemáticas. He de ver evolucionar los signos, las palabras.” Fragmento de una entrevista a Marcus du Sautoy por parte de El Pais
4En el Fedon, 82e-83b
5Lo que a su vez a mi me recuerda a Jimenez: "¡inteligencia, dame / el nombre exacto de las cosas.”. Lo que a su vez me recuerda a la obsesión de Flaubert por el termino exacto; lo que me recuerda...
¿Qué somos sino una espiral de referencias envuelta entre los tallos de su expresión y la nuestra...?
6También Russell, por ejemplo, se lamenta o retracta de algunas consideraciones de su “Los problemas de la filosofia” en su prefacio de 1924. Supongo que estos no son casos aislados, sino el resultado de la evolución natural que experimenta toda mente activa capaz de cuestionarse así misma continuamente al modo socratico; de no parar de pensar, pues la quietud...mata.
7Capitulo VII de “Los problemas de la filosofia” de Russell. En el capitulo siguiente se niega esta visión* apelando a que la validez del principio de inducción no puede ser demostrada por inducción o que no es necesario enumerar diferentes casos en los que dos entidades junto a otras dos forman un total de cuatro, sino que un solo caso basta para afirmar 2+2=4. En este capitulo también se introduce la visión kantiana de la matemática: juicio a priori sintético, no analítico como se pensaba hasta entonces.
     Por otra parte, considero el argumento de este fragmento valido en tanto en cuanto explica como, mediante la costumbre, hemos memorizado ciertos cálculos, como las tablas de multiplicar: afirmo que 6x6=36 casi más por eufonía que no por haber considerado y sumado seis grupos de seis elementos cada uno.

*En particular, escribe:
El problema que situó Kant al principio de la filosofía, es decir, «¿Cómo es posible una matemática pura?» es interesante y difícil, y toda filosofía que no sea puramente escéptica, debe hallarle alguna respuesta. La respuesta de los empíricos puros, según la cual nuestro conocimiento matemático es derivado por inducción, de ejemplos particulares, es inadecuada, como hemos visto, por dos razones; primero, porque la validez del principio inductivo mismo no puede ser probada por inducción; segundo, porque las proposiciones generales de la matemática, como «dos y dos siempre son cuatro», pueden ser conocidas evidentemente con certeza mediante la consideración de un solo ejemplo, y nada ganan con la enumeración de otros casos en los cuales se hallarían también que son ciertas. Así, nuestro conocimiento de las proposiciones generales de la matemática (y lo mismo se aplica a la lógica) debe ser considerado como diferente de nuestro conocimiento (meramente probable) de las generalizaciones empíricas, como «todos los hombres son mortales».

3 comentarios:

  1. Pienso que te faltó comentar la parte más razonable sobre el platonismo en matemáticas, y tiene que ver con su arista realista. El realismo en matemáticas, que más que hablar sobre un acceso mental privilegiado a estas, consiste en el considerar las construcciones matemáticas como algo "real", Platón es uno de los realistas por excelencia.. las ideas eran reales y accediamos a parte de ellas, al hablar de matemáticas, más que comentar sobre el cómo accedemos a ellas, pienso que el énfasis podrías haberlo puesto en el hecho de cuestionar la existencia "real" de estas "verdades matemáticas"... la disputa realismo vs antirrealismo en matemáticas es bastante entretenida... Dummett a pesar de ser precursor del intuicionismo, no dejaba de admirar los trabajos de Frege, por lo demás también es entretenido hablar sobre el ficcionalismo.
    Lo que mencionas sobre el empirismo radical no pasa de ser casi anecdótico. Recuerdo narraciones sobre el "origen real de los números" basadas en cuestiones simples como la necesidad por parte de los pastores de saber cuantas ovejas había en su rebaño, consiguiéndolo mediante "marcas en su bastón" que luego mediante una función biyectiva entre bastón y conjunto de ovejas fueron desarrollando los números naturales... Pero bueno, si bien el ejemplo cumple con su función explicativa, claramente no puede agotar las matemáticas en sí, porque nos habríamos quedado sin cero, sin infinito o para qué decir sin conjuntos con cardinalidades transfinitas... Podríamos decir que el ejemplo es casi tan malo como algunas de las proposiciones del tractatus de wittgenstein xDDDD
    Por lo demás no pienso que el abandono de Kronecker del tercero excluso sea terrible y solo hilarante, he dedicado algunos semestres a estudiar antirrealismo e intuicionismo... Y se me ocurre que hay ahí algunas ideas realmente razonables, pero en ocasiones ignoradas en pro de la costumbre y lo "práctico"
    No sé si lo has hecho pero podrías darle una mirada a algunos ensayos de Dummett o de Brouwer

    En fin, el gusto que me falta por la pedagogía lo tengo por la filosofía analítica, del lenguaje, de las ciencias, y las matemáticas... y así como después de un tiempo en ingeniería me cambié a filosofía, cuando termine el próximo año, me hago un magister en filosofía de las ciencias...

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    1. Precisamente porque era la parte más razonable, más estudiada, y porque la discusión "¿la matemática se crea o se descubre?" es todo un tópico, preferí enfocarlo de otra manera. Como ya te he comentado antes, prefiero rehuir los refritos: hay bibliografia abundante para aportar más sin añadir nuevos matices o visiones.

      Al fin y al cabo, lo único que quería decir realmente en este post antes de ponerlo por escrito es que en la realidad subyace un orden, no puedes considerar una lista de elementos sin considerar un orden. En cambio, los números combinatorios permiten obviar ese orden. Esta seria mi respuesta a ese empirismo radical que no creo anecdotico (leí sobre él, y esta era mi respuesta, en el libro de Russell que comento en el post, aunque por lo que veo se me olvido citar el fragmento. Lo añadiré).
      En consecuencia, el resto de la entrada no son más que un collage de referencias (es una manera de no perderlas: a menudo uso mis textos como bibliotecas de enlaces y fragmentos interesantes para no olvidarlos y reunirlos bajo una misma luz, ordenandolos) complementarias que contextualizan el ejemplo que quería dar; supongo que esto confirma mi maximalismo: siempre a cabo escribiendo mucho más de lo que me propongo. Es por eso que no he entrado en las cuestiones antes citadas, de modo que el titulo puede parecer algo pretencioso.

      Sobre Kronecker... bueno, tal vez lo haya juzgado muy rápido, pero personalmente renunciar a las demostraciones por absurdo me resulta bastante limitativo (cabria preguntarse si toda demostración así hecha puede transformarse en otra también valida, o, más difícil, si son equivalentes en facilidad o se poseen ya los conceptos matemáticos necesarios para esa conversión. No creo, por tanto, que sea una simple cuestión de costumbre o practicidad). Es como llamar teología a las demostraciones de existencia (cf. Hilbert). A priori me parece una buena idea (estableciendo un cierto paralelismo con la critica a la causalidad de Hume), pero si estamos trabajando con lógica binaria, el teorema es cierto o falso, no creo necesaria considerar una tercera opción. Aunque en otros contextos (quizá para tratar las paradojas?), obviamente, puede ser interesante. En cualquier caso, lo que se de Kronecker no pasa de aquí, así que cuando tenga tiempo, y si mi formación me permite entenderlo, buscare alguna cosa de Dummett o Brouwer.

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    2. Oh claro, probablemente el título de la entrada me hizo pensar que era algo más cabal. Tal vez lo dije de forma demasiado simplista, al llamarlo anecdótico, pero como tú mismo has dicho la bibliografía sobre realismo vs antirrealismo es voluminosa, mientras que hablar de platonismo vs empirismo radical no lo es tanto porque al ser ideas tan extremas parecen descartables o sus errores se perciben con mayor facilidad, entonces no es por una mera cuestión de falta de originalidad que se ponga énfasis en otros ángulos de la discusión, es sencillamente que en esos planteamientos tan polares parece, en principio, no haber tanto que discutir...
      Comprendo y comparto totalmente el uso, abuso y colección de referencias, mi blog es básicamente eso. En fin, acá son las 6.30am y aun no me acuesto, el cansancio sumado a mi minimalismo xd me llevan a saltar a conclusiones sin las merecidas explicaciones

      Sobre Kronecker manejo menos información que sobre algunos otros autores más cercanos al lado del intuicionismo, Por lo demás no es una cuestión de hablar de lógica binaria o incluso polivalente, en el caso del intuicionismo, la no aceptación del tercero excluso no apunta a eso, sino a un rechazo de la noción platónica de verdad matemática, es decir, como una verdad que se da de modo independiente de nuestra capacidad para ofrecer una demostración (a la aceptación de esta idea platónica de verdad me refería con costumbre)... No sé cómo anda tu inglés, pero te recomiendo darle una mirada a las primeras partes al menos de "Elements of Intuitionism" de Dummett, es de fácil lectura y bastante explicativo. Encontrarás varias otras ideas "limitantes" (a lo que me refería con poco prácticas) o "aberrantes" como diría un profesor (no aceptar la doble implicación entre A y ¬¬A, o de que a partir de la negación de un cuantificador universal se pueda afirmar automáticamente la verdad de un existencial que lo niegue, etc.)

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El pudor es un estigma social: descuartizame, y mis manos resquebrajadas te aplaudirn.