NOTA: Aunque recibiré con los brazos abiertos a cualquier nuevo visitante, especialmente en lo que concierne a los proyectos de Vaho de la Bruma, nótese que este blog permanece enterrado desde Julio de 2013, tras un año de deterioro progresivo y otro de notable silencio (cf. Recapitulación). El Fénix que de estas cenizas quizá nacerá, en Scribd, si es el caso, lo hará.
Derechos: la imagen de cabecera pertenece a Platinum FMD, mientras que la del fondo es de ¿Eric Sin (Depthcore)?

lunes, 23 de abril de 2012

Del error y la sutileza

(Adenda a "la imposibilidad del lenguaje")


Caso 1: ¿quien lo escribió?

FuenteB. Figueras

Lema (premisa de Emilia): para una correcta -o útil, interesante- interpretación de un autor, debemos estar de su parte, asumir que no se equivoca, y que si lo hace es por una buena causa -o es subyacente a circunstancias externas a él, como el contexto histórico, social, político,... por lo que deberá negligirse como algo no propio del autor-, es decir, que sabe de lo que habla y que, ante ambigüedad o controversia, merece el beneplácito de la duda, pues, aunque no tuviese realmente buenas intenciones, nuestras lecturas pueden ser así más provechosas. 
    (corolario)Las refutaciones y contrastes, por tanto, así como reformulaciones varias, vendrán después de entenderlo en toda su extensión, nunca antes, en caso de disparidad o merecimiento.

Enunciado:  
"¡Ay, Dios mío, qué rompecabezas es todo esto! Voy a probar si sé todas las cosas que acostumbraba saber. Veamos: cuatro por cinco, doce, y cuatro por seis, trece... ¡Ay, Dios mío, así nunca llegaré a veinte!"
Lewis Carroll, Alicia en el País de las Maravillas

Resolución (primera parte)
$4 \cdot 5=20$ Sin embargo, el texto afirma $4 \cdot 5=12$. Supongamos, por el lema de Emilia, que Carroll no se equivoca. Entonces tenemos que $20=12$. ¿Es esto posible? 
    Obviamente, en nuestro universo logocentrico -y especialmente en matemáticas-, dos entidades son diferentes si sus significados son diferentes. Bajo esta premisa, podemos afirmar, por ejemplo, que one=uno, a pesar de la diferencia de significantes, que ni tan siquiera concurren bajo permutaciones en lo que se conoce como anagrama. (Nota: podría desarrollarse el mismo discurso con la analogía de sinónimo, si se acepta su existencia, sin necesidad de recurrir a otros idiomas)
    ¿Incurre aquí Carroll, entonces, en una traducción?¿Y que entraña en realidad el símil de lengua, en el contexto numérico?

Paréntesis
A algunos matemáticos nos gusta mofarnos de la cultura matemática del vulgo. Recojo ahora, adelantando un futuro y jocoso escrito que seguirá sedimentándose, y mencionando el pecado pero no el "pecador" del profesor que así lo puso de manifiesto, algunas de estas burlas:

1)La amistad ideal es una relación de equivalencia porque:
-Uno es amigo de uno mismo... aunque no siempre es así... (reflexividad) 
-Soy amigo de mis amigos... aunque no siempre... (simetría)
-Los amigos de mis amigos son mis amigos... aunque... (transividad)

2)"El orden de factores no altera el producto" es una coletilla más o menos frecuente, fuera del contexto matemático; pronunciada, probablemente, por personas completamente ajenas al hacer matemático -al cual, curioso, apelan-, científico y diario. Mas...¡Que se lo digan a Galois o Hamilton! Y, aunque añadiría como corrección, "bajo estructuras conmutativas", esto daría como resultado una sentencia tan banal y redundante, que antes me callo. 

3)Ajo,con Don Simón y Telefunken, en Radio 3: "micro-problema: ¿si le sumo mi soledad a la tuya, que es lo que obtengo a cambio?:¿dos soledades o ninguna?" (tu tele te mira y se aburre). 
    Mucho antes, y en la misma linea de pensamiento, Nietzsche inventara el termino Zweisiedler, que hace referencia al matrimonio, esto es, a la "soledad de dos en compañía".
    Sin embargo, y pese a la más o menos frecuente coletilla "uno y uno, dos", de uso idéntico al "blanco y en botella...", esto no es cierto si el anillo tiene característica 2. Por ejemplo, observamos que en $\mathbb{Z/2Z}, 1+1=0$ (cf. anillo de clases de restos módulo m) ya que $2 \equiv 0 (mod 2)$ (porque $2=0+2k$, para algún $k\in \mathbb{Z}$, cf. congruencias). Idealmente, este debería ser también el caso de las soledades. 
    (Otra manera de verlo seria como un cambio de base: $2=10_{(2}$, de manera que el $k$ de antes nos daría el numero de ceros antes del 1)

Resolución (segunda parte)
Exacto: la metáfora de "lengua" referida a los números -que no a las matemáticas- se basa en la idea de "base numérica". Así pues, del mismo modo que podemos expresar el concepto árbol en diferentes lenguas, podemos expresar el concepto 20 en diferentes bases. 
    Visto así, la pregunta se reduce a: ¿en que base $20=12$?. Tenemos que: $$ 20=2 \cdot 10^1+0 \cdot 10^0= 1 \cdot b^1+  2 \cdot b^0=12_{(b} \ \ \ (1)$$ Por tanto, $20=b+2 \Rightarrow b=18$
     Razonando de la misma manera para el resto de casos que Alicia considera podríamos obtener la lista que aporta Figuera. Pero, para no redundar esfuerzos, lo tratare en general: Carroll afirma que $4 \cdot (5+i)=b+2+i$, con $i \in \mathbb{N} \cap [0,7]$. Despejando $b$, queda: $b= 18+3i$. Observamos, además, por (1), que la afirmación también es valida para $i\in \{-1,-2 \}$, casos que Carroll decidió ignorar, tal vez, para no facilitar la tarea, para no hacer evidente su juego. 
     Por contra, cuando llegamos a 20 la igualdad original (1) queda $4 \cdot 13=52= 2 \cdot b^1+  0 \cdot b^0=20_{(b}$, ie, $4 \cdot (13 +i)=2b+i$, con $i \in \mathbb{N} \cap [0,9]$, que, despejando, nos deja: $b=\frac{52+3i}{2}$, que solo tendrá sentido para $i$ par, y que no se corresponde con la regla antes encontrada, rompiendo el patrón de Alicia, de modo que, efectivamente, nunca llegara a 20.
     
Generalizaciones y generaciones
Para obtener una visión más clara del asunto, generalizemos (1) para cualquier intervalo:$$4(3+10n+i)=(n+1)b+i,i \in \mathbb{N} \cap [0,9], \forall{n}\in \mathbb{Z} \ \ \ (2)$$ Despejando, queda:  $b=\frac{12+40n+3i}{n+1}, n\neq -1$. Acudiendo a (2) observamos que en realidad $n=-1$ es el caso menos interesante, y $n=0$ es el de Carroll, que se caracteriza por dar $b \in \mathbb{N}$, lo cual solo ocurre en el caso trivial (valor absoluto del denominador 1, ie, $|n+1|=1$), ya que numerador y denominador son coprimos. Sin embargo, para el otro caso, $n=-2$, tendriamos que el coeficiente de $b$, $(n+1)$, es negativo, lo cual no es posible, ya que los dígitos que estamos considerando son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Por tanto, Carroll pone en boca de Alicia la única ristra de 10 operaciones consecutivas que sigue un patrón uniforme en (2).
   
Veamos ahora como podemos generar nuestras propias ristras, generalizando (2): dados $x,y \in \mathbb{Z},z \in \mathbb{N} \cap [-1,8], i \in \mathbb{N} \cap [0,9], b\in \mathbb{N}$ , tenemos: $$x(y+10z+i)=(z+1)b+i=(z+1),i_{(b} \Rightarrow b=\frac{xy+10xz+i(x-1)}{z+1}$$ El caso de Carroll corresponde a $x=4, y=3, z=0, i \in \mathbb{N} \cap [2,9]$. Para generar ristras como esa necesitamos $b \in \mathbb{N}$, ie, que el numerador sea multiple del denominador. Esto ocurre trivialmente para cualquier $x,y$ si $z=0$. Para $z \neq 0$ debemos imponer $mcd(xy, 10xz, x-1)=(z+1)k$,para algún $k\in \mathbb{N}$. Por poner algún ejemplo concreto, tómese $z=1, x=5, y=4$. Entonces se obtiene $5j=2,i_{(32+2i}, j \in \mathbb{N} \cap [14,23]$

Dejamos como ejercicio para el lector otras posibles extensiones, como la generalización a más dígitos o a otras operaciones, así como establecer algún tipo de patrón, aunque sea como unión de reglas, que permita generar ristras de más de 10 operaciones, puesto que considero zanjada y suficientemente caracterizada y justificada la interpretación matemática del celebre fragmento carrolliano.

Conclusión
Tengo entendido que varios intelectuales-especialmente filósofos- consideraron el fragmento de Carroll producto de la acción del "genio maligno", tergiversador de la verdad, en "el país de las maravillas" , cuando, más bien, se trata de un juego de matemática recreativa, con fuertes tintes criptograficos, de los que tanto deleitaban a Carroll. 
    Esto muestra, primero, la importancia de conocer el autor que escribe, segundo, la importancia de estar a su altura, o, cuanto menos, conocer su campo de acción, y, tercero, la facilidad quizá innata al ser humano de considerar todo aquello que no sigue lo preestablecido como un error, llegando a apelar, completamente ajenos a la navaja de Occam, a dioses, genios malignos, fenomenos paranormales, equivocaciones... con tal de justificar aquello que nace, en realidad, de su propia ignorancia, atribuida falsamente, en este caso, a Alicia o al Pais de las Maravillas.
    Y esto es precisamente lo que le sucedió a Eco (véase su brillante "¿mentira o fingimiento?"): si bien he destacado que es importante saber quien escribe para no tomarse a la ligera ciertos juegos de palabras o malabarismos numéricos, a los que Carroll era asiduo, tampoco hemos de obviar que personaje y autor no son necesariamente uno, aunque en el fragmento citado las voces se confundan y Alicia devenga extensión de Carroll.
    Así, y paralelamente a esta reseña, prevengo al lector del caso contrario, de las precipitaciones del colega de Eco, en lo que seria, muy breve, el "Caso 2:¿en boca de quien lo escribió?", lo que me lleva a pensar... si hago una afirmación, por ejemplo, a propósito de alguna pintura en base a las sensaciones que me transmite pero sin entrar en el porqué de las mismas (cf. caja negra), y luego me preguntan sobre el origen de estas...¿mi respuesta sera un parche, una justificación ad hoc, una llamada al deus ex machina, estará sesgada por el propósito de mantenerse consistente y confirmarse, ... o, en verdad, tiene validez? (Nótese que, para colmo, las ultimas investigaciones en neurociencia guiadas por la noción de inteligencia emocional vienen a confirmar que "la emoción precede al pensamiento", luego es absurdo que el segundo intente justificar al primero, cuando en verdad se deriva de este).
     Esto ultimo puede tener importantes consecuencias en cuanto a la construcción de juicios se refiere, puesto que si no podemos justificar nuestras justificaciones ad infinitum, pero tampoco podemos detener el proceso -asentarlo en unos axiomas- para esperar a ver cuales de ellas necesitan de aclaración, entonces la comunicación es imposible (cf. pragmática conversacional), y desemboca necesariamente en textos inacabados o de extensión indigerible, o diálogos que terminan por parecer falsos, llevando a malentendidos y discrepancias como las de Eco.
     Llegados hasta aquí, uno puede pensar que basta prohibir ese razonamiento marcha atrás para resolver el entuerto, dejando patente la importancia dada al orden en el que se conciben los pensamientos, su no conmutatividad. Sin embargo, esto resulta mucho más problemático, dado lo limitativo/constrictivo de la imposición. Por ejemplo, aunque la matemática formalmente parta de unos axiomas, en verdad se ha llegado a ellos mediante "ingeniería inversa" (cf. por un nuevo humanismo, II). Pero si decidiésemos partir directamente de un origen -¿¡cual!?- sin prever los futuros pasos -¿¡Cómo así podríamos elegirlo!?-, lo más probable es que no convergiésemos en nada -o, al menos, no lo que buscábamos/queríamos-, o llegásemos a alguna contradicción. Por no decir que en el caso del juicio sobre un cuadro antes citado, terminaría por olvidarme o obviar o suprimir las sensaciones que este me trasmite en pro de un análisis logocentrico que aniquilaría la función del arte misma, como muestran ciertos experimentos. O, ¿aún peor?, que las vueltas de tuerca, las sorpresas o los chistes perecerían, perderían todo su sentido, ya que serian consecuencia directa de un razonamiento lineal, seco y estéril, perdiendo toda su gracia al ser destripados antes de su ejecución.
     Así razonando, me veo obligado a volver sobre el problema anterior, que, aunque el colega de Eco estuviese en lo cierto y la justificación fuese a posteriori, aconteciendo performativa, es -aun así, o precisamente por ello- de gran hermosura, pues recuerdo -si no leído, al menos sí soñado- que: "artista [o genio] es aquel que convierte el error en acierto".



Los humanos alaban tanto como detractan, la sutileza. Al entenderla, creyéndola tan criptica, con unos ojos humedecidos por la emoción, proceden a destriparla explicándola [como yo he hecho aquí mismo, quizá innecesariamente, a propósito de Alicia]. Mas cuando su propia agudeza no alcanza, todo análisis les parece artificioso, obra, a lo sumo, más propia de un lector busca patrones, que no de un escritor planta enigmas.
Ese, ese no comprende, ni siente, ni gime, ni vive. No ve que el autor es una quimera múltiple, una suerte de Hermes transformista[polytropos]. No ve que la interpretación es creación [pues el juicio esta siempre sesgado], y la contemplación interpretación[pues no es posible ver realmente sin juzgar]. No conoce las artes de la hermenéutica y la semiología.


"Nunca des explicaciones [al mundo]. Tus amigos no las necesitan. Tus enemigos no las creen."
Oscar Wilde



PD: Esta entrada participa en la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS.

No hay comentarios:

Publicar un comentario

El pudor es un estigma social: descuartizame, y mis manos resquebrajadas te aplaudirn.