NOTA: Aunque recibiré con los brazos abiertos a cualquier nuevo visitante, especialmente en lo que concierne a los proyectos de Vaho de la Bruma, nótese que este blog permanece enterrado desde Julio de 2013, tras un año de deterioro progresivo y otro de notable silencio (cf. Recapitulación). El Fénix que de estas cenizas quizá nacerá, en Scribd, si es el caso, lo hará.
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miércoles, 20 de junio de 2012

La ambigüedad de los puntos suspensivos en las sucesiones

¿Te han suspendido en tu ultimo examen de sucesiones?¿Las estas estudiando y quieres burlarte de tu profesor (de secundaria) con mayor cinismo que Ferdydurke II-III, probarle, poner de manifiesto su incompetencia, o simplemente ir de listillo? Aún mejor, ¿deseas echar por tierra una pregunta tipica de los tests de IQ, cuestionando así su validez y aquellos por estos beneficiados con la etiqueta de superdotado? ¿Sí?¡Entonces estas en el lugar correcto!

Anécdota personal
Recuerdo (aunque lo he tenido que buscar)* que en un examen de 1r de bachiller se nos pedía encontrar una formula que definiese la sucesión siguiente: 2,5,10,17,... También recuerdo que durante aquellos días me entretenía haciendo toda clase de juegos relacionados con sucesiones (matemática recreativa, que lo llaman; para gustos, los colores). Consecuentemente, (así como el New Jersey de un relato policíaco que se filtro en mi examen de historia, en contra de la bolsa de New York), la identifique con la sucesión de tribonacci, tomando 2,5,10 como base (2+5+10=17). Mi respuesta, a pesar de que en un sentido estricto cumplía los requisitos del enunciado, fue descalificada (lo que tampoco es de extrañar: de otro modo, para cualquier sucesión de n números, puedo considerar la n-bonacci, si bien en este caso particular se trata de la (n-1)-bonacci, algo que no sucede necesariamente para cualquier sucesión).
     Lo más gracioso/irónico del asunto era que nos habían introducido al tema, primero, poniendo de manifiesto el carácter amplio del concepto de sucesión (p.e.:{Acera, Bodega, Casa, Dado, Elefante,...}), y, segundo, con la ya clásica anécdota de Gauss que se suele emplear (y se empleó) para mostrar que en ocasiones los profesores obvian planteamientos propios del pensamiento lateral/heurístico (justo al acabar de dictar el problema, Gauss colocó su pizarrita sobre la mesa del profesor, quien con absoluta seguridad afirmó: “Debe estar mal.”), lo cual me lleva a responder con un rotundo NO a la pregunta formulada en un viejo post, justo antes del apartado/actualización "más material" (a saber, y resumiendo, si se podían corregir nuestros prejuicios concienciandonos de ellos. En este contexto particular, si la anécdota de Gauss que la maestra mostró sirvió para no caer ella misma en ese error, esto es, seguir perpetuando la respuesta canónica esperada. Otro contraejemplo: el experimento del buen samaritano).
      En verdad, en retrospectiva, no me explico cómo, temperamental y cínico como soy (¿era?), no fui a reclamar mi 10 (sí, estaba ante esa eterna y perniciosa pregunta que capa a quienes pretenden el 10), apelando, para más inri, a la popular anécdota de Bohr. Supongo que por alguna razón le dolía demasiado a mi orgullo no haber hallado la respuesta esperada como para quejarme y reconocerlo.

*Nota: sólo encontré la corrección del examen, no el enunciado. Si en éste se matizara que se ha de buscar la serie aritmética, que sí es única, entonces todo lo anterior no sería más que una pedante perogrullada aquí expuesta a raíz de mi maximalismo quijotesco. De hecho, incluso esto decae en una excusa barata, puesto que el marco del examen, las clases previas, no daban lugar a dudas en cuanto a su interpretación. Es la anacronia de "revivir" ésta experiencia/frustración tras tres años lo que seguramente me ha llevado a hacer estas afirmaciones con algo de fingida ofensa. En cualquier caso, y dejando de lado el origen del mismo, no deja de ser un ejemplo ilustrativo de lo que quiero mostrar.

Observaciones posteriores
Sea como fuere, y por si todo ello fuera poco para poner en evidencia el planteamiento del problema, lo equivoco que resultaba, la OEIS (a pesar de no ser exhaustiva, pues ¿acaso podría existir tal cosa? Eso significaría, primero, que hay un numero finito de sucesiones susceptibles de estar en la enciclopedia-¿¡bajo que criterio?!-, y, segundo, que son cognoscibles/ distinguibles del resto) da 57 posibles resultados al problema. De ellos, la solución deseada era: $ a_n =n^2+1 $; la primera en mostrarse, es cierto. También es verdad que muchas de ellas se salen del contexto expuesto. No obstante, mi propuesta, o la que dice "suma de los n primeros primos", por ejemplo, eran perfectamente factibles, creo. Y no sólo eso, sino que se han de añadir 6 términos más para que la sucesión no sea ambigua: a partir de ese momento aparecen dos resultados equivalentes (uno desplazado respecto del otro).
       Es por este motivo, supongo, que a menudo he notado un cierto recelo en el profesorado universitario a la hora de poner esos perniciosos e imprecisos puntos suspensivos, y por lo cual existe una notación matemática precisa (aunque a veces se obvie para abreviar). Por lo mismo, entiendo que las matemáticas que se enseñan en la escuela no merecen ese nombre, sino, a lo sumo, el de propedéutica de la misma.

Interpolación polinomial
Para terminar mi critica, y aprovechando una acertada observación de mi profesor de métodos numéricos I, les preguntare lo siguiente, que, salvo "isomorfismos", aparece en todo test de inteligencia que se precie, siendo, por tanto, empleado también, en ocasiones, por los tests de los departamentos de RRHH para la selección de personal:

Continué la sucesión siguiente: 2,4,6,8,...
a)-5
b)8
c)10
d)14
e) Cualquiera de las anteriores.

En efecto, por el concepto referido en el titulo, la respuesta correcta es la (e). Así, si $z$ es el termino con el que continuamos la sucesión, tendremos que esta viene definida por: $$a_n=2+\frac{1}{4}(18-z)n+\frac{z-10}{24}(n^2-6n^3+n^4), n\in \mathbb{N}$$Notamos, no obstante, que hemos de imponer $\frac{z}{2} \equiv 9(mod 2)$, ie, $z$ par y $\frac{z}{2}$ impar, si deseamos que $a_n$ genere una sucesión de enteros.

Para llegar a la formula dada existen diferentes métodos: el más rudimentario consistiría en resolver el sistema de ecuaciones $ \sum_{i=0}^m c_in_j^i=f_j, j\in [0,m]\cap \mathbb{N}$, donde $c_i$ son los coeficientes del polinomio de grado $m$ que nos definirá la sucesión (y que existe y es único), y $f_j$ son sus imágenes (2,4,6,8,...) para las antiimagenes $n_j$ (0,1,2,3,...). Huelga decir, sin embargo, que este dista de ser el método más habitual/eficiente: para ello tenemos el de las diferencias divididas de Newton.
     Para terminar, y como es fácil de imaginar, podemos imponer estas condiciones a otro tipo de funciones (en el caso de que estas sean lineales se conoce como interpolación lineal), generando así formulas diferentes.
(extraído de XKCD en español)

Nota: otro post que apunta en la misma dirección, de eulerianos.

PS: Participación#3 en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas que acoge ScientiaResumen.

Las otras participaciones fueron: 
  • #1La (falsa) paradoja de los números interesantes
  • #2¿Por qué no se puede dividir por cero?
  • #4Resumen formal y solución a "Una paradoja lógica" de Carroll

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