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lunes, 18 de junio de 2012

La (falsa) paradoja de los números interesantes

No es posible que existan números carentes de interés, pues, de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés.
Martin GardnerINFINITUM. Citas matemáticas

Contexto

Estaba leyendo este articulo de mi querida Neoteo cuando me reencontré con la paradoja del titulo, mera -aunque divertida- anécdota humorística. Y queriendo averiguar si la gente era consciente de ello, ojee los comentarios: #3 y #16 me alentaron, pero #31 me asusto. 
   Ya en "Desmontando una demostración ontológica" puse de manifiesto que esta clase de chistes/juegos/entretenimientos lógico-matemáticos corren el riesgo de tomarse en serio, aunque ni siquiera sea su intención, difundiendo así más aún la ya amplia ignorancia del vulgo en estos campos (cf. paréntesis). Por supuesto, en la red no faltan imbecilidades del calibre de un puño -espero no unirme yo a ellas- comparables a las del ya comentado Aschero ¡afortunados sean los amantes del fisting!; tanto es así, que a veces me pregunto si la divulgación no hace más daño que bien (Ferdydurke XIII parece opinar lo mismo), o las barbaridades que habré dicho yo al tratar ciertos temas -en los que no tenga "jurisdicción" alguna, por ejemplo.
   Por todo ello y más, me voy a tomar la molestia de discutirlo, dada su popularidad; a ver si se contagia...

Conocimientos previos básicos necesarios
En matemáticas, y particularmente en teoría del orden, dado un conjunto parcialmente ordenado $(A,\leq)$, un elemento $a \in A$ es el elemento mínimo de $A$ si cualquier otro elemento de $A$ es mayor o igual que él; es decir, si $\forall x \in A, a \leq x$. Es importante enfatizar, como veremos en la refutación, que esta propiedad no es intrínseca del elemento, sino que se tiene siempre respecto de un conjunto concreto.  
   Además, la propiedad de antisimetría de la relación de orden $\leq$ asegura que, de existir (en cuyo caso lo llamaremos conjunto bien ordenado), es único.
   Por ultimo, $(\mathbb{N},\leq)$ es un conjunto bien ordenado.

Refutación
Como bien apuntaba el comentario #3, debido a la unicidad del elemento mínimo, no podemos iterar el proceso. Sin embargo, el error es anterior (y supongo que viene de ahí la confusión con #31 y wikipedia*): hemos considerado que $\mathbb{N}= I \sqcup A$, donde  $I, A$ son respectivamente los conjuntos disjuntos de los números interesantes y los aburridos. Ahora bien, si $m$ es el primer numero aburrido, ie, si $m$ es el elemento mínimo de $A$, en el momento en que lo trasladamos por ello al conjunto $I$ pierde su propiedad, ya que deja de ser un elemento de $A$ y, en particular, no puede ser mínimo de $A$; en consecuencia, deja de ser interesante y retornamos al estado inicial**.   
   Resumiendo: el criterio de Gardner no es aplicable (ni tan siquiera en la primera iteración); como hemos visto, el primer número aburrido no puede ser interesante (uno estaría tentado a decir, dejando todo este embrollo de lado, que por definición; pero como los conjuntos no están bien definidos/caracterizados, esto no seria concluyente), y todo aquel que no lo admita es inconsistente. Su sentencia no pasa de refinado sofisma.

Pero mi intuición me dice...
Es cierto. Lo realmente sorprendente del asunto es que podamos considerar "seriamente" la idea de Gardner, y que su criterio nos parezca, a primera vista, admisible y coherente -si bien algunos ya estamos acostumbrados a las frecuentes trampas que nos juega el pensamiento humano, o a las llamadas paradojas verídicas que contradicen nuestra intuición, como la de Galileo: hay tantos pares como naturales-, lo que muestra nuestra concepción vaga/contradictoria del termino "interesante" (quien se suele llevar la culpa, junto con la idea de autoreferencia**), que se ve sometido a ciertas restricciones no esperadas (en tanto que asumíamos, a priori, relativistas y subjetivos, que cualquier cosa podía ser interesante), poniendo de manifiesto, como en otras paradojas de la teoría original de conjuntos surgidas a finales del XIX, lo problemático que resulta no delimitar previamente los conceptos-núcleos (cf. cita de Lorenzo y una solución para la paradoja de Russell de eltopologico).
     Por ello mismo, voy a mostrar otra posible explicación del asunto que, aunque otorga consistencia a la prueba, la vuelve nimia y estúpida. Cuando nosotros decimos que el primer numero aburrido (que denotaremos por comodidad $m$ ó $m_0$ según convenga) es interesante, lo que realmente queremos decir es que, entre los números aburridos, este es el más interesante, puesto que es el primero de los aburridos (fijando una cota). De este modo, no trasladamos a $m$ al conjunto $I$, sino que particionamos a $A$ (que también denotaremos por $A_0$) en dos conjuntos, $\{m\}$ y $A_1:=A \setminus \{m\}$.
    Esto nos permite iterar el proceso considerando $m_i=min\{A_i\}, A_i=A_{i-1}\setminus \{m_{i-1}\},A=\bigsqcup_{i=0}^{i=n-1}{\{m_i\}} \sqcup A_n$, de modo que $m_i$ seria, según el criterio de Gardner, el elemento más interesante de $A_i$. Además, como $A_{i-1} \supseteq A_{i}$, $m_{i-1}$ es más interesante que $m_{i}$, y obviamente $m_{i-1} \leq m_i$. Es decir, el criterio que estamos empleando para decidir si un numero es más interesante que otro coincide completamente con el criterio que utilizamos para decidir si un numero es menor que otro (hago notar que $(A,\supseteq)$ también es un conjunto bien ordenado). O sea, que el criterio de Gardner es toda una perogrullada, desde este punto de vista, ya que nos lleva a concluir que podemos ordenar nuestro conjunto $A$ de números aburridos según la relación de equivalencia $\leq$ (algo que, de hecho, ya sabíamos, puesto que, como ya dijimos en los preliminares, $(\mathbb{N}, \leq)$ es un conjunto bien ordenado y, en particular, cualquier subconjunto suyo también), por no decir que es redundante(¿para qué introducir el concepto de "interesante" si se corresponde exactamente con el de "menor"? Criterio, además, sumamente arbitrario, pues ¿realmente consideramos siempre, acondicionalmente, a los números menores más interesantes que los mayores? ¿No podríamos, acaso, tomar otro criterio igualmente valido? Lo cierto, a pesar del tentador sí, es que no se le puede negar a Gardner que su criterio es de lo más sencillo y elegante para acometer su fin, intuyo, y como hemos visto, porque bajo esta nueva perspectiva produce una relación de orden, permitiendole trasladar todos los elementos de $A$ a $I$ -"ordenadamente"-; lo que ya no puedo asegurar es si el reciproco es cierto, ie, si dado un criterio que nos permita "demostrar" que todo numero es interesante, entonces este produce una relación de orden en $A$).
    Por supuesto, como en todo momento nos hemos mantenido en el conjunto $A$, ahora no podemos concluir que todos los números son interesantes, sino, a lo sumo, y siempre bajo el criterio de Gardner (menor=más interesante), que podemos ordenar los números aburridos de más a menos interesantes ordenándolos de menor a mayor.
    Otra interpretación alternativa (me atrevería a decir que, en esencia, la misma) se puede obtener mediante un tratamiento propio de la lógica difusa.

Despedida y cierre
Probablemente esta explicación era totalmente innecesaria (¿parezco un autista incapaz de entender el humor y la ironía, verdad?). No obstante, a veces la gente se toma tan en serio estas cosas que terminan por contagiarme. Y, sobretodo, me pareció interesante hacer notar lo que se suele obviar, y es aplicable en otros muchos contextos: lo importante, en ocasiones, no esta, per se, en los conceptos que estamos considerando, no es intrínseco a ellos, sino en como estos se relacionan entre sí. 

*Algunas tribulaciones
"Sin embargo, esta resolución no es válida, ya que la paradoja se demuestra por reducción al absurdo: suponiendo que hay algún número aburrido, llegamos al hecho de que ese mismo número es interesante, de modo que no hay ningún número que sea aburrido; su objetivo no se concentra en identificar los números interesantes o aburridos, sino mostrar que cualquier número puede, de hecho, presentar tales propiedades."(wikipedia says)
    Personalmente, no me convence en absoluto, este argumento. Primero, y como hemos visto en la refutación, porque el primer número aburrido no puede ser interesante. Y, segundo, porque a mi parecer la observación de #3 no pretende identificar esos elementos, sino mostrar que el criterio de Gardner no es iterable, de modo que si hay más de un elemento en $A$, no podremos trasladarlos todos a $I$. Sea como fuere, y como ya hice notar, el error es anterior, por lo que toda posterior discusión carece de valor (cf. principio de explosión). 

**La paradoja de Russell
Aunque puede resultar tentador considerar que esta está envuelta en el meollo del asunto, tengo dos argumentos que lo desmienten. Primero, Gardner nos dice lo siguiente: $m:=min\{A\}\in A \Rightarrow m \in I \Leftrightarrow m\notin A$, ie, $m \in A \Rightarrow m \notin A$. Pero el reciproco no es cierto (al menos no si asumimos que hay elementos interesantes per se,ie, que el conjunto original $I$ no estaba vació). Por tanto, no se trata de la paradoja de Russell, y es por ello que no entramos en ningún bucle, sino que, como se dijo, nos estabilizamos volviendo al estado inicial cada vez que intentamos imponer el criterio de Gardner, ya que es inconsistente, falso. 
     Por otra parte, hemos de hacer notar que en el parágrafo anterior hemos obviado un pequeño detalle que nos distancia aún más de Russell. Gardner no esta afirmando, estrictamente hablando, que $m \in A \Rightarrow m \notin A$ y, por tanto, que $m$ es y no es de $A$, sino que, si $m\in A$, entonces $m$ "es trasladado" de $A$ a $I$, de modo que el criterio no es contradictorio en sí mismo (prueba de ello es que es así como construimos $I$: encontrando particularidades en elementos de $A$). De hecho, la contradicción viene de imponer $m:=min\{A\}$: en este caso, y como ya se ha dicho repetidas veces, no podemos "trasladar" a $m$ a $I$ porque la propiedad que estamos exigiendo para ese traslado sólo se cumple en $A$, no en $I$. Podría decirse, por tanto, que todo este embrollo se deriva de la mal entendida operación "trasladar", la cual es ciertamente problemática.


PS: Participación#1 en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas que acoge ScientiaResumen.

Las otras participaciones fueron: 
  • #2¿Por qué no se puede dividir por cero?
  • #3La ambigüedad de los puntos suspensivos en las sucesiones
  • #4Resumen formal y solución a "Una paradoja lógica" de Carroll

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