NOTA: Aunque recibiré con los brazos abiertos a cualquier nuevo visitante, especialmente en lo que concierne a los proyectos de Vaho de la Bruma, nótese que este blog permanece enterrado desde Julio de 2013, tras un año de deterioro progresivo y otro de notable silencio (cf. Recapitulación). El Fénix que de estas cenizas quizá nacerá, en Scribd, si es el caso, lo hará.
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domingo, 24 de junio de 2012

Resumen formal y solución a "Una paradoja lógica" de Carroll



Definiciones
$C \equiv$ Carr está
$B \equiv$ Brown está
$A \equiv$ Allen está

Hipótesis
$(1) \neg A \rightarrow \neg B$
$(2)  \neg A \land \neg B \wedge \neg C=0$

Razonamiento de Joe (por absurdo)
Supongamos $C=0$
Entonces: $ \neg A \rightarrow B$ por $(2)$
Esto contradice $(1)$, qed

Refutación de Jim
La contradicción no se tiene de suponer $C=0$ sino $A=0$, ie, hemos demostrado que bajo la hipótesis $C=0$ no podemos suponer $A=0$ (o, más llanamente y resumiendo, que Allen no se puede marchar porque entonces Brown tendría que acompañarle, dejando la barbería vacía, lo que no puede ocurrir por hipótesis). Así, $\neg A \land \neg C=0$, o lo que es lo mismo, aplicando las leyes de De Morgan: $A\lor C=1$

Reproche de Joe
"¿no te das cuenta de que estás dividiendo equivocadamente la prótasis y la apódosis de esa proposición hipotética?"

Solución
Ante la densa -aunque hilarante- verborrea de Jim y Joe no sólo he querido hacer este resumen, sino que propondría también ahora evitarnos más embrollos usando tablas de verdad. Así, si construimos
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
A & B & \lnot A & \lnot B & \neg A \rightarrow B & \neg A \rightarrow \neg B \\
\hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}
$$

observamos que en el razonamiento de Joe no se llega a ninguna contradicción: bajo la hipotesis $C=0$, las dos ultimas columnas son equivalentes, puesto que los casos diferentes quedan descartados respectivamente por las hipótesis $(1)$ y $(2)$. De este modo, resulta harto irónico y acertado, el comentario de Joe, puesto que las había considerado contradictorias simplemente por tener apódosis contrarias. Por otra parte, si añadiésemos ahora la variable $C$ en la tabla, encontraríamos que nuestras hipótesis $(1)$ y $(2)$ descartarían sólo 2 de los 4 casos en los que $C=0$. En efecto, y como apuntaba Jim, $\lnot C \rightarrow A $, con $B$ independiente/variable.


Nota: Acabo de descubrir que $\LaTeX$ contiene -de manera natural- sinónimos, a saber: \land=\wedge, \lnot=\neg,...

PS: Participación#4 en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas que acoge Scientia. Resumen.

Las otras participaciones fueron: 
  • #1:La (falsa) paradoja de los números interesantes
  • #2:¿Por qué no se puede dividir por cero?
  • #3La ambigüedad de los puntos suspensivos en las sucesiones

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