NOTA: Aunque recibiré con los brazos abiertos a cualquier nuevo visitante, especialmente en lo que concierne a los proyectos de Vaho de la Bruma, nótese que este blog permanece enterrado desde Julio de 2013, tras un año de deterioro progresivo y otro de notable silencio (cf. Recapitulación). El Fénix que de estas cenizas quizá nacerá, en Scribd, si es el caso, lo hará.
Derechos: la imagen de cabecera pertenece a Platinum FMD, mientras que la del fondo es de ¿Eric Sin (Depthcore)?

miércoles, 4 de julio de 2012

Utilidad pedaggica de la paradoja de Aquiles y la tortuga (esquema)

-En anlisis: una suma de infinitos trminos (o ms formalmente, serie) puede tener como resultado un valor finito (ie, ser convergente). Ejemplo: progresin geomtrica (con $|r |<1$). Nocin de limite. Solucin habitual para la paradoja.
-En heurstica: entender el problema propuesto es el primer consejo que nos da Plya en su ya clsico "Cmo plantear y resolver problemas". Digo esto porque en el punto anterior slo se demuestra que la distancia es finita, no que se recorra en un tiempo finito, que es sobre lo que nos interrogan. Por supuesto que uno siempre puede recorrer un espacio finito en un tiempo finito (salvo, claro, en espacios "patolgicos", como p.e. los espacios no contrctiles, como p.e. $\mathbb{R}^2 \setminus S^1$), pero esto no es necesario; puede ser que, en efecto, se emplee un tiempo infinito para recorrer un espacio finito. As, por ejemplo, podemos encontrar una muy interesante vuelta de tuerca sobre este tema apuntando en esa misma direccin en "la rana infatigable" de PKD; los dos apartados siguientes, adems, ofrecen otros ejemplos de esto, mientras que el tercero pretende ser una suerte de ejemplo-solucin obvia a esta problemtica.
Por otra parte, y para terminar, quiero hacer notar que uno no debe caer en la tentacin (como hizo Zenn) de decir nuevamente que, de hecho, tardara un tiempo infinito en tanto que ha de recorrer un numero infinito de parcelas (o sumandos) aunque estos conformen una distancia finita, ya que, en principio (en el caso de Aquiles, al menos), cada vez tardara menos en recorrer esas distancias cada vez menores (por no decir que difcilmente uno posea la precisin necesaria sobre el movimiento de su cuerpo como para aplicar el planteamiento de Zenn tal cual [ie, ser consciente de cada paso o sumando ms que aadimos a la distancia recorrida; lo natural sera sumar la cola de la serie de un golpe, en una sola zancada o, a lo sumo y en plan pardico, arrastrando los pies, para poder considerar as el movimiento como algo continuo y poder aplicar por tanto el teorema de Bolzano] o, mismamente, difcilmente se pueda discernir si en efecto la tortuga ha sido alcanzada o todava faltan [o nos hemos pasado] unas micras para ello). De hecho, esta es la distincin clave entre la rana de PKD y la tortuga de Aquiles: que cada vez tarda ms en recorrer una misma distancia.
-En topologa: nocin de (bola) abiertaespacio Hausdorff,... Si la tortuga viviese en la frontera de ese abierto, no seria necesario que huyese para no ser atrapada (podra acercarme tanto como quisiese, pero jams alcanzarla, de manera similar a como ocurre con la rana de PKD). Si asumimos que no puedo ocupar unas coordenadas del espacio que ya estn ocupadas por otro ente, como en un espacio Hausdorff dos puntos son siempre disjuntos, jams atrapare a la tortuga (a no ser que me siente sobre ella).
-En fsica: no existe contacto real entre dos entes cualesquiera. La presin que notamos al acercarnos a un objeto se debe a la repulsin electrosttica que manifiestan los electrones de las partculas que los forman y los nuestros, la cual aumenta a medida que disminuye la distancia.
-Aproximacin numrica mediante mtodos iterativos: no necesitamos recorrer la misma distancia que la tortuga para cazarla o, ms en general, obtener el resultado exacto de cierto problema; basta con que esta distancia, sumada a la longitud de nuestros brazos, s la alcancen, ie, se nos antoje suficiente.
-En lgica:  Lo que la tortuga dijo a Aquiles de Carroll. "La consecuencia, con frecuencia ridiculizada, de estas opiniones es que se destruyen a s mismas. Pues al afirmar que todo es cierto afirmamos la verdad de la afirmacin opuesta y, por consiguiente, la falsedad de nuestra propia tesis (pues la afirmacin opuesta no admite que ella pueda ser cierta). Y si se dice que todo es falso esta afirmacin resulta tambin falsa. Si se declara que slo es falsa la afirmacin opuesta a la nuestra, o bien que slo la nuestra es falsa, se est, no obstante, obligado a admitir un nmero infinito de juicios verdaderos o falsos. Pues quien emite una afirmacin cierta declara al mismo tiempo que es cierta, y as sucesivamente hasta el infinito". Aristteles. Problemas de la teora de la justificacin y la argumentacintrilema de Mnchhausen. Necesidad de unos axiomas sustentadores ("denme un punto de apoyo y mover el mundo" Arqumedes en referencia a su ley de la palanca). Cuales deben ser esas bases (ltimas) de una explicacin para darse por buena?


Nota: me da demasiada pereza redactarlo,  por no decir que hacerlo no aportara nada nuevo; todos los puntos han sido ya sobradamente explotados. Simplemente me apeteca listarlos.

Nota2: para ms informacin, cf. Atomism and Infinite Divisibility, de Ralph E. Kenyon.

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